Πώς να βρείτε διαδικτυακούς οδηγούς για ανάλυση σφαλμάτων στη Φυσική;

Σε κάθε μέτρηση και εκτίμηση που κάνουμε, υπάρχουν πάντα λάθη. Γιατί είναι σημαντική η ανάλυση σφάλματος στη φυσική; Πρέπει να ανησυχούμε για το αποτέλεσμα αντί να υπολογίζουμε τα λάθη; Είναι αλήθεια ότι πρέπει να ανησυχούμε περισσότερο για το αποτέλεσμα της μέτρησης από την αβεβαιότητα, αλλά ο υπολογισμός για την αβεβαιότητα σφάλματος είναι μερικές φορές μια μεγάλη αναίρεση.

Εδώ είναι μια ιστορία που δίνει ένα παράδειγμα αυτού του λάθους του μη υπολογισμού της ανοχής ή του σφάλματος:

Ένας λιτός οδηγός παρατήρησε ότι το φορτηγό του μπορούσε να τρέχει 6 χιλιόμετρα για κάθε λίτρο βενζίνης. Τώρα θα προχωρήσει σε ένα διακρατικό ταξίδι με απόσταση 500 χιλιομέτρων. Θεωρώντας ότι η δεξαμενή καυσίμου έχει χωρητικότητα 50 λίτρων, έκανε πλήρες ρεζερβουάρ ανεφοδιασμού σε ένα κοντινό βενζινάδικο. Για ακριβή υπολογισμό 50 λίτρα x 6 km ανά λίτρο = 300 χιλιόμετρα. Ως εκ τούτου, πίστευε ότι μπορούσε να τρέξει 300 χλμ με το τρέχον καύσιμο του. Κοιτάζοντας την ανάγνωση χιλιομέτρων, ξεκίνησε το ταξίδι του. Μετά από 250 χλμ. Ταξίδι ανεφοδιάστηκε σε άλλο σταθμό και υπολόγισε ότι το καύσιμο του θα μπορούσε να διαρκέσει για άλλα 50 χλμ, οπότε χρειαζόταν καύσιμο για να τρέξει τα άλλα 200 χλμ. Έτσι, 200km / 6km ανά λίτρο = 33,3 λίτρα. Λαμβάνοντας λίγο επίδομα, φόρτωσε 35 λίτρα. Με όλη την ελπίδα για τον ακριβή υπολογισμό, ξεκίνησε για το επόμενο μισό του ταξιδιού του. Σε μια μεγάλη απογοήτευση, το βαν / το αυτοκίνητό του σταμάτησε στη μέση του δρόμου. Γιατί είναι? Αυτό οφείλεται στο στοιχείο σφάλματος στην παρατήρηση ή τη μέτρηση. Η μέτρηση των 6 km ανά λίτρο μπορεί να είναι 6 km ± 1km ανάλογα με την κυκλοφορία και τις οδικές συνθήκες. Εξαρτάται επίσης από τα γρανάζια που χρησιμοποιείτε. Τα υψηλότερα γρανάζια (χρησιμοποιούνται σε υψηλή ταχύτητα) χρησιμοποιούν λιγότερα καύσιμα ανά διανυόμενη απόσταση.

Ελάχιστη απόσταση

Ας υπολογίσουμε για το λάθος του οδηγού. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα 6 km ± 1km ανά λίτρο, η ελάχιστη απόσταση που μπορεί να τρέξει το αυτοκίνητό του ανά λίτρο φυσικού αερίου είναι 5 km. Επομένως, το καύσιμο του 50 λίτρα + 35 λίτρα = 85 λίτρα βενζίνης έχει τη δυνατότητα να τρέχει μόνο 85 λίτρα x 5 χλμ / λίτρο = 425 χλμ! Είναι πολύς δρόμος για να φτάσει στον προορισμό του!

Αυτό είναι μόνο ένα απλό παράδειγμα και με λιγότερες επιπλοκές. Φανταστείτε τι θα συμβεί εάν εφαρμοστεί ο ίδιος λανθασμένος υπολογισμός για ένα διαστημικό λεωφορείο που πηγαίνει στο mars!

Υπάρχουν δύο είδη σφαλμάτων: τυχαία και συστηματικά σφάλματα.

Τυχαία λάθη προκαλούνται από την αναποτελεσματικότητα στη μέθοδο των μετρήσεων και άλλων παρεμβολών.

Πολλαπλά όργανα

Τα συστηματικά σφάλματα είναι πιο δύσκολο να αντιμετωπιστούν, καθώς το όργανο που χρησιμοποιείται προκαλεί. Είναι ιδιαίτερα δύσκολο εάν χρησιμοποιείτε πολλά όργανα και δεν έχετε ιδέα ποιο όργανο δυσλειτουργεί.

Στην αναπαράσταση της μέτρησης σφαλμάτων στην ανάλυση αβεβαιότητας, χρησιμοποιούμε δύο μορφές: την απόλυτη φόρμα και τη σχετική φόρμα.

Το απόλυτο σφάλμα (σφάλμα που απεικονίζεται σε απόλυτη μορφή) λέει στον αναγνώστη τον ακριβή αριθμό μονάδων για τις οποίες η μέτρηση δεν είναι σίγουρη ή για την ακρίβεια της μέτρησης. Για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε ότι το βάρος μιας αγελάδας δύο ετών είναι 200kg ± 10kg. Με αυτή τη δήλωση βλέπουμε ξεκάθαρα ότι μια αγελάδα δύο ετών είναι περίπου 190 κιλά έως 210 κιλά.

Το σχετικό σφάλμα λέει

Από την άλλη πλευρά, το σχετικό σφάλμα μας λέει πόσα μέρη της μετρούμενης τιμής είναι αβέβαιη. Πρόκειται για σφάλμα σε σχέση με τη μετρούμενη τιμή. Μπορούμε να υπολογίσουμε το σχετικό σφάλμα χρησιμοποιώντας τον τύπο ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ = ΑΠΟΛΥΤΟ ΣΦΑΛΜΑ / ΜΕΤΡΗΜΕΝΗ ΑΞΙΑ.

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο παράδειγμα, το σχετικό σφάλμα είναι 10kg / 200kg, το οποίο ισούται με 0,05 ή 5%. Το σχετικό σφάλμα παρουσιάζεται τώρα ως 200kg ± 5%.

Αν και το απόλυτο σφάλμα είναι μερικές φορές πιο εύκολο να γίνει κατανοητό, το σχετικό σφάλμα είναι ευκολότερο στη χρήση σε πιο περίπλοκους υπολογισμούς. Είναι επίσης ο μόνος τρόπος σύγκρισης σφαλμάτων διαφορετικών μονάδων. Για παράδειγμα, ποια είναι η ακριβέστερη μέτρηση του βάρους της αγελάδας, που είναι 200kg ± 10kg ή το ύψος της, που είναι 150 cm ± 5 cm; Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε 10 κιλά με 10 εκατοστά αφού έχουν την ίδια τιμή. Έτσι για να υπολογίσουμε την ακρίβεια πρέπει να μετατρέψουμε αυτήν την απόλυτη φόρμα σε σχετική μορφή. 200kg ± 10kg γίνεται 200kg ± 5% και 150cm ± 5cm γίνεται 150 cm ± 3,3%. Είναι πλέον σαφές ότι η τιμή βάρους έχει μεγαλύτερο σφάλμα, επομένως η μέτρηση του ύψους είναι πιο ακριβής.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΣΦΑΛΜΑ:

Προσθήκη και αφαίρεση
Κατά την προσθήκη ή την αφαίρεση απόλυτων σφαλμάτων, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές του σφάλματος. Για παράδειγμα:
(800m ± 10m) + (500m ± 5m) = 1300m ± 15m

Το ίδιο ισχύει και κατά την αφαίρεση:
(800m ± 10m) - (500m ± 5m) = 300m ± 15m

Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε σχετικά σφάλματα με διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε 800m ± 1,25% και 500m ± 1%. Μπορούμε να προσθέσουμε μόνο εάν έχουν τα ίδια σχετικά σφάλματα. Πείτε:
(800m ± 2%) + (500m ± 2%) = 1300 ± 2%. Ναι, απλώς προσθέτουμε τη μετρούμενη τιμή και διατηρούμε το σχετικό σφάλμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Ο πολλαπλασιασμός των απόλυτων σφαλμάτων είναι αρκετά ακατάστατος. Ο πολλαπλασιασμός με σταθερά είναι μόνο για προθέρμανση. Για παράδειγμα, μετρήσατε μια συγκεκριμένη απόσταση με ένα ραβδί μετρητή με μήκος 1m ± 2cm ή 1m ±.02m. Τελειώσατε με τη μέτρηση των 50 μέτρων. Τώρα, ποια είναι η πραγματική αναπαράσταση ακρίβειας / σφάλματος;

Ακρίβεια = 50x (1m ± 0,02m) = 50m ± 1m. Διανέμουμε 50 τόσο στη μετρούμενη τιμή όσο και στο απόλυτο σφάλμα.

Σχετικό σφάλμα

Σε αντίθεση με το σχετικό σφάλμα (δεδομένου ότι η μέτρηση έως και 50 έως το μέτρο των 50 μέτρων με ένα ραβδί μέτρου είναι 0% σφάλμα), πολλαπλασιάζουμε τις σταθερές και προσθέτουμε το σχετικό σφάλμα:

Ακρίβεια = (50 ± 0%) x (1m ± 2%) = 50m ± 2%.

Ας έχουμε αυτό το επόμενο παράδειγμα: πόση απόσταση μπορεί να ταξιδέψει ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 85km / h ± 10km / hr σε 6 ώρες ± 24 λεπτά;

Πρώτα πρέπει να μετατρέψουμε 24 λεπτά σε ώρα, που είναι 0,4 ώρα. Ο τύπος για Απόσταση είναι
Απόσταση = Ταχύτητα x Χρόνος, έτσι:

Απόσταση = (85km / hr ± 10km / hr) x (6hr ± 0,4 hr), υπολογίζοντας τη μέση απόσταση:
Μέση απόσταση = (85 km / hr) x 6 hr = 510 km. Στη συνέχεια, όσο το δυνατόν πιο μακριά απόσταση:
Απόμακρη απόσταση = ταχύτερη ταχύτητα x μεγαλύτερη διάρκεια ταξιδιού, η διαφορά είναι +
98 χιλιόμετρα Απόμακρη απόσταση = 95km / h x 6,4 hr = 608 km. Η ελάχιστη δυνατή απόσταση που διανύθηκε είναι:
Μικρότερη απόσταση = βραδύτερη ταχύτητα x συντομότερος χρόνος
Μικρότερη απόσταση = 75 km / h x 5,6 ώρες = 420km, η διαφορά από τον μέσο όρο είναι -90km, ώστε να μπορούμε να πούμε
Απόσταση = 510km ± 98km ή να πάρουμε το μέσο όρο να είστε ακριβείς:
Μέσος = (πιο μακρινός + βραχύτερος) / 2. Τότε έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα 514km ± 94 km.

Αρκετά περίπλοκος υπολογισμός χρησιμοποιώντας απόλυτη τιμή όπως μπορείτε να δείτε. Αλλά αν χρησιμοποιούμε σχετική τιμή:

Km / ώρα

Απόσταση = (85km / h ± 11,76%) x (6 ώρες ± 6,67%), πολλαπλασιάζουμε την πραγματική μέτρηση και προσθέτουμε το σχετικό σφάλμα. Παίρνουμε:
Απόσταση = 510km ± 18,43%
Για έλεγχο: 510kmx1,1843 = 603,99km και 510kmx.0,8157 = 416km

Εκθέτες:
Σε αυτό το μέρος χρησιμοποιούμε εντελώς το σχετικό σφάλμα. Ο κανόνας είναι απλός πολλαπλασιάστε το σχετικό σφάλμα με τον εκθέτη. Για παράδειγμα, υπολογίστε τον όγκο ενός κύβου με πλευρά 4m ± 5%.
Ο τύπος για τον όγκο του κύβου είναι V = s3
V = (4m ± 5%) ^ 3
V = 64m3 ± 15%

Απλός οδηγός ανάλυσης σφαλμάτων

Αυτό τελειώνει τον απλό οδηγό ανάλυσης σφαλμάτων για τη φυσική. Ο καθένας μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτούς τους τύπους για να υπολογίσει το σφάλμα. Ο υπολογισμός του σφάλματος είναι απαραίτητος όχι μόνο για την παροχή αρκετής ανοχής, αλλά και για την ελαχιστοποίηση των πόρων έως και το υψηλότερο δυνατό αποτέλεσμα μόνο. Επιπλέον, η ανάλυση σφάλματος δεν είναι απομονωμένη για τη φυσική. Εφαρμόζεται επίσης στη χημεία, τα μαθηματικά, τη μηχανική, την αστρονομία κ.λπ.

Για πλήρη και λεπτομερή συζήτηση σχετικά με την ανάλυση σφαλμάτων, αναζητήστε το βιβλίο "Μια εισαγωγή στην ανάλυση σφαλμάτων" του John R. Taylor.